Rombicosidodecàedre

Rombicosidodecàedre
Elements

Model 3D
Tipus	políedre arquimedià i políedre uniforme
Forma de les cares	triangle equilàter (20) quadrat (30) pentàgon regular (12)
Símbol de Schläfli	rr{5,3}
Dual	Hexacontàedre trapezoidal

Vèrtexs	60

Arestes	120

Cares	62
Més informació
MathWorld	SmallRhombicosidodecahedron

En geometria, el rombicosidodecàedre o petit rombicosidodecàedre és un dels tretze políedres arquimedians.

Té 62 cares, 12 de les quals són pentagonals, 20 triangulars i 30 quadrades, 120 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren una cara pentagonals una triangular i dues quadrades.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un petit rombicosidodecàedre tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A=\left(30+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {15(5+2{\sqrt {5}})}}\right)}}\right)a^{2}

V=\left(20+{\begin{matrix}{29 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {5}}\right)a^{3}

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

{\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}}{2}}\\&r={\frac {a\left(15+2{\sqrt {5}}\right){\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}}{41}}\\&\rho ={\frac {a{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}}{2}}\\\end{aligned}}

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual del petit rombicosidodecàedre és el hexacontàedre pentagonal.

Desenvolupament pla

Simetries

El grup de simetria del petit rombicosidodecàedre té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric $I\cong A_{5}$ . Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats

El petit rombicodidodecàedre es pot obtindre tant del icosàedre com de l'octàedre a base d'expandir-los allunyant les deves cares del centre i creant noves cares per a cada aresta i vèrtex originals.

També es pot obtenir truncant al mateix temps tant els vèrtexs com les arestes de l'icosàedre o del dodecàedre.

Les vint cares triangulars i les dotze cares pentagonals del petit rombicosidodecàedre descansen sobre els plans de les cares d'un icosàedre i d'un dodecàedre respectivament. Les trenta cares quadrades, en canvi descansen sobre els mateixos plans que les cares d'un traiacontàedre ròmbic, el políedre dual de l'icosidodecàedre.