En matemàtiques, la sèrie de Mercator o sèrie de Newton–Mercator és la sèrie de Taylor del logaritme natural:
![{\displaystyle \ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7efed2560a7c78dfba3a7e85ec9af57c97d458)
Escrita en notació de sumatori,
![{\displaystyle \ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7ab31275628e74fd3a456e12225af5716bdcb8)
La sèrie convergeix al logaritme natural (desplaçat en 1) quan −1 < x ≤ 1.
La sèrie va ser descoberta independentment per Nicholas Mercator, Isaac Newton i Gregory Saint-Vincent. Va ser publicada per primera vegada per Mercator, en el seu tractat Logarithmo-technica de 1668.
Derivació
La sèrie pot ser obtinguda a partir del teorema de Taylor, mitjançant el càlcul inductiu de la enésima derivada del ln x en x = 1, començant amb:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908d58e860196c61db8f688876e2671bf1c812b0)
Alternativament, es pot començar amb la sèrie geomètrica finita (t ≠ −1)
![{\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b9459e0d1c0661ccac7b004f15f859c244ebf8)
que dona
![{\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ea5dfdd1bac3dd68214e3295393ca4f667694a)
Se segueix que
![{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2189b65a8a7787cdfe8102b4140bc72f33758bd)
i per integració terme a terme,
![{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4b6b971316c8538161754971fa8ebcd57564df)
Si −1 < x ≤ 1, el terme resta tendeix a 0 quan
. Aquesta expressió pot ser integrada iterativament k vegades més per obtenir:
![{\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e80cafef1c49c4ea7115d773db7dfc5f3ebe142)
on
![{\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198ed584580a1acdc903abf0e8488c536c9dff31)
i
![{\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46e720ea394fd42dfd72575655d9ad22f8a83c7)
són polinomis en x.[1]
Casos especials
Prenent x = 1 en la sèrie de Mercator s'obté la sèrie harmònica alternada.
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe9ec8790ba92136c5f414e3c11f0e30ae3db8b)
Sèrie complexa
La sèrie de potències complexa:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z\,+\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,+\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971381df78ce42ac35b17496c80af17e61f45372)
és la sèrie de Taylor de la funció complexa -log(1 - z), on log denota la branca principal del logaritme complex. Aquesta sèrie precisament convergeix per a tot nombre complex |z| ≤ 1, z ≠ 1. De fet, es pot veure mitjançant el criteri de d'Alembert, que aquesta té radi de convergència igual a 1, per tant, convergeix absolutament en tot disc B(0, r) amb radi r < 1. A més, aquesta convergeix en tot disc foradat
, amb δ > 0. Això és conseqüència immediata de la identitat algebraica:
![{\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1295c7e781e040cf58dd23dcf6a11204815c900e)
Observi's que el costat dret és uniformement convergent en tot el disc tancat unitat.
Referències
- ↑ Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. «Iterated primitives of logarithmic powers» (en anglès). , 2009 [Consulta: 30 agost 2017].
Bibliografia
- Weisstein, Eric W. Weisstein, Eric W., «Mercator Series» a MathWorld (en anglès).
- Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
- Some Contemporaries of Descartis, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by Walter William Rouse Ball