Simetria esfèrica

La simetria esfèrica és la simetria respecte a un punt central, de manera que un sistema físic o geomètric té simetria esfèrica quan tots els punts a una certa distància del punt central són equivalents.

Física

Un cert nombre de problemes físics d'interès, especialment relacionats amb la teoria de camps, els medis continus o la teoria quàntica són més fàcils de resoldre quan les dades de partida té simetria esfèrica, ja que la solució per a certes magnituds incògnites també tindrà simetria esfèrica. Això permet reduir un problema amb tres coordenades espacials a un problema d'una variable (variable radial). Per exemple en diverses àrees de la resolució de certs problemes requereix estudiar l'equació de Poisson següent:

∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = ρ ( x → ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=\rho ({\vec {x}})}

Quan la funció "font" té simetria esfèrica, és a dir:

ρ ( x , y , z ) = ρ ~ ( x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle \rho (x,y,z)={\tilde {\rho }}({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\,}

El problema pot reformular en termes de dues variables com:

∂ 2 φ ~ ∂ r 2 + 1 r ∂ φ ~ ∂ r + ∂ 2 φ ~ ∂ z 2 = ρ ~ ( r ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\varphi }}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\varphi }}}{\partial z^{2}}}={\tilde {\rho }}(r)}

On:

{ ρ ( x , y , z ) = ρ ~ ( x 2 + y 2 + z 2 ) , ρ ~ ( r ) = ρ ( r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , r cos ⁡ θ ) φ ( x , y , z ) = φ ~ ( x 2 + y 2 + z 2 ) , φ ~ ( r , z ) = φ ( r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , r cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\begin{cases}\rho (x,y,z)={\tilde {\rho }}({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}),&{\tilde {\rho }}(r)=\rho (r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )\\\varphi (x,y,z)={\tilde {\varphi }}({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}),&{\tilde {\varphi }}(r,z)=\varphi (r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )\end{cases}}}

Teoria de grups

Donat un problema geomètric o físic caracteritzat per un cert nombre de magnituds escalars ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (\mathbf {x} )} o propietats tensorials T ( x ) ∈ T q p ( R n ) {\displaystyle T(\mathbf {x} )\in {\mathcal {T}}_{q}^{p}(\mathbb {R} ^{n})} es diu que el problema té simetria esfèrica si hi ha representacions F p, q del grup SO (3):[1]

F p , q : S O ( 3 ) → T q p ( R n ) ⊗ T q p ∗ ( R n ) {\displaystyle F_{p,q}:SO(3)\to {\mathcal {T}}_{q}^{p}(\mathbb {R} ^{n})\otimes {{\mathcal {T}}_{q}^{p}}^{*}(\mathbb {R} ^{n})}

Tals que:

[ F p , q ( T ) ] ( F 1 , 0 ( x ) ) = T ( x ) , ϕ ( F 1 , 0 ( x ) ) = ϕ ( x ) {\displaystyle [F_{p,q}(\mathbf {T} )](F_{1,0}(\mathbf {x} ))=\mathbf {T} (\mathbf {x} ),\quad \phi (F_{1,0}(\mathbf {x} ))=\phi (\mathbf {x} )}

Aquesta última expressa la condició que el fet de girar el sistema d'eixos deixa forminvariantes les quantitats bàsiques que caracteritzen el problema.

Vegeu també

  • Simetria axial

Referències

  1. ↑ Galindo i Pascual, pàg. 239-250.

Bibliografia

  • Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat , Ed Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
  • Galindo, A. i Pascual P.: Mecànica quàntica , Ed Eudemo, Barcelona, 1989, ISBN 84-7754-042-X.