Topologia quocient

En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.

Definició

Siga ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ un espai topològic i ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ una relació d'equivalència sobre ${\displaystyle X}$. El conjunt quocient ${\displaystyle X/{\mathcal {R}}}$ és el conjunt de les classes d'equivalència dels elements de ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle X/{\mathcal {R}}=\{[x]:x\in X\}}$

Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre ${\displaystyle X/{\mathcal {R}}}$ són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}=\{U\subseteq X/{\mathcal {R}}:\bigcup _{[x]\in U}[x]\subseteq {\mathcal {T}}_{X}\}.}$

Definició equivalent: sigui ${\displaystyle p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$ l'aplicació projecció donada per ${\displaystyle p(x)=[x]}$, aleshores es defineixen els oberts de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}}$ com els conjunts ${\displaystyle U\subseteq Y}$ tals que ${\displaystyle p^{-1}(U)\subseteq X}$ és obert en ${\displaystyle X}$.

Propietats

• L'aplicació ${\displaystyle p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$ que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.^[1]
• Siguen ${\displaystyle p\colon X\to X/{\mathcal {R}}}$ la projecció i ${\displaystyle \varphi \colon X/{\mathcal {R}}\to Y}$. L'aplicació ${\displaystyle \varphi }$ és continua si, i només si, la composició ${\displaystyle \varphi \circ p\colon X\to Y}$ és continua.^[1]

Exemples

• El tor com a conjunt quocient:^[1] Sobre ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$ es defineix la relació d'equivalència ${\displaystyle (x,0){\mathcal {R}}(x,1)}$ i ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,y)}$. L'espai quocient ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$ és homeomorf a un tor.

• La cinta de Möbius com a conjunt quocient:^[1] Sobre ${\displaystyle I^{2}}$ es defineix la relació d'equivalència ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)}$. L'espai quocient ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$ és homeomorf a una cinta de Möbius.

• La ampolla de Klein com a conjunt quocient:^[2] Sobre ${\displaystyle I^{2}}$ es defineix la relació d'equivalència ${\displaystyle (x,0){\mathcal {R}}(x,1)}$ i ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)}$. L'espai quocient ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$ és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$).

• L'esfera com a conjunt quocient:^[3] Sobre ${\displaystyle \{(x,y):|x|+|y|\leq 1\}}$ es defineix la relació d'equivalència ${\displaystyle (x,y){\mathcal {R}}(-x,y)}$ per a ${\displaystyle (x,y)}$ de la frontera. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.

Vegeu també

• Conjunt quocient
• Homeomorfisme
• Espai topològic

Bibliografia

• Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general", Universitat de Sonora.
• Weisstein, Eric W., «Espai qocient» a MathWorld (en anglès).
• Espai quocient a PlanetMath

Referències