Univers de Gödel

Ne doit pas être confondu avec Univers constructible.

L'univers de Gödel est une solution aux équations de la relativité générale publiée par le mathématicien Kurt Gödel en 1949.

Description

L'univers de Gödel est un modèle cosmologique^[1]. Cette solution possède plusieurs propriétés remarquables. Elle décrit un univers en rotation, c'est-à-dire un univers qui possède une direction privilégiée que l'on peut localement assimiler à un axe de rotation. Par ailleurs, la structure de l'espace-temps permet l'existence de courbes fermées de genre temps^[2],[3]. Ces travaux sont à l'origine de la recherche d'un plus grand nombre de solutions exactes aux équations d'Einstein.

Métrique de l'univers de Gödel

La métrique de Gödel^[2] est une solution exacte^[4] de l'équation d'Einstein avec constante cosmologique^[5]. Elle décrit un espace quadri-dimensionnel^[3],[6] lorentzien (tout comme notre espace-temps) empli de matière non relativiste de pression nulle et d'une constante cosmologique. La métrique (ou l'élément de longueur) de cet espace s'écrit

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=-{\rm {d}}t^{2}+{\rm {d}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\exp(2{\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}-2\exp({\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}t\;{\rm {d}}y,}$

où ${\displaystyle \omega }$ est une constante position représentant la vorticité du fluide qui est au repos par rapport aux coordonnées ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$. La densité d'énergie ${\displaystyle \rho }$ du fluide et la constante cosmologique ${\displaystyle \Lambda }$ sont reliées à la vorticité par

${\displaystyle 4\pi \rho =-\Lambda =\omega ^{2}}$

dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation valent 1.

Propriétés

L'univers de Gödel représente un espace homogène^[6], c'est-à-dire que tous ses points sont équivalents.

Sa principale particularité est qu'il comporte des courbes de genre temps fermées. Par le changement de coordonnées

${\displaystyle \exp({\sqrt {2}}\omega x)=\cosh 2r+\cos \phi \sinh 2r,}$

${\displaystyle \omega y\exp({\sqrt {2}}\omega x)=\sin \phi \sinh 2r,}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}(\varphi +\omega t-{\sqrt {2}}t)\right)=\exp(-2r)\tan {\frac {1}{2}}\varphi ,}$

l'élément de longueur se réécrit

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=2\omega ^{-2}\left(-{\rm {d}}t'^{2}+{\rm {d}}r^{2}-(\sinh ^{4}r-\sinh ^{2}r)\;{\rm {d}}\varphi ^{2}-2{\sqrt {2}}\sinh ^{2}r\;{\rm {d}}\varphi \;{\rm {d}}t'\right)+{\rm {d}}z^{2}.}$

Le fluide est toujours au repos par rapport aux coordonnées ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle z}$ et l'espace autour de l'origine est symétrique par rapport à l'axe ${\displaystyle r=0}$. L'espace étant homogène, cette propriété se retrouve pour tous les autres points. En ${\displaystyle r=0}$, le cône de lumière futur est orienté vers le haut, tout comme dans un système de coordonnées polaires ordinaire dans l'espace de Minkowski, et n'inclut pas les lignes de coordonnées de ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle \varphi }$. À mesure que l'on considère des points pour des valeurs plus grandes de ${\displaystyle r}$, les cônes de lumière s'inclinent peu à peu jusqu'à inclure la ligne de coordonnée de ${\displaystyle \varphi }$ à partir de ${\displaystyle r=\ln(1+{\sqrt {2}})}$. Les lignes de coordonnées de ${\displaystyle \varphi }$ sont donc pour les grandes valeurs de ${\displaystyle r}$ des courbes de genre temps fermées. Pour cette raison, l'espace de Gödel n'est pas considéré comme une solution physiquement acceptable des équations d'Einstein.

Noter et références

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Kurt Gödel, « An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation », Review of Modern Physics, vol. 21,‎ 1949, p. 447-450 (lire en ligne) — L'article historique de Gödel.
• (en) S. W. Hawking et G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Monographs on Mathematical Physics », 1975, 400 p. (ISBN 0521099064), section 5.7, p. 168-170
• Palle Yourgrau, Einstein/Gödel quand deux génies refont le monde, Dunod, 2005 (ISBN 2-10-048735-3)
• [Ellis 1996] (en) George F. R. Ellis, « Contributions of K. Gödel to relativity and cosmology », dans Petr Hájek (éd. et préf.), Gödel '96 : logical foundations of mathematics, computer science and physics : Kurt Gödel's Legacy, Berlin, Heidelberg et New York, Springer, coll. « Lecture notes in logic » (n^o 6), juillet 1996 (réimpr. mars 2001, mars et septembre 2017), 1^re éd., VIII-322 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 1-56881-153-5 et 3-540-61434-6, EAN 9783540614340, OCLC 496669511, BNF 37514155, DOI 10.1017/9781316716939, SUDOC 11638171X, lire en ligne), I^re partie, chap. 3, p. 34-49 (lire en ligne [PDF]).
• [Hilgert 1995] (en) Joachim Hilgert, « The halfspace method for causal structures on homogeneous manifolds », dans Karl H. Hofmann, Jimmie D. Lawson et Ernest B. Vinberg (éd. et préf.), Semigroups in algebra, geometry and analysis, Berlin et New York, W. de Gruyter, coll. « De Gruyter expositions in mathematics » (n^o 20), mai 1995, 1^re éd., XII-370 p., 17 × 24,4 cm (ISBN 3-11-014319-4, EAN 9783110143195, OCLC 32388913, BNF 37529037, DOI 10.1515/9783110885583, S2CID 142896635, SUDOC 023534303, présentation en ligne, lire en ligne), 1^re partie, chap. 2, p. 33-55.
• [Jaroszkiewicz 2016] (en) George Jaroszkiewicz, Images of time : mind, science, reality, Oxford, OUP, hors coll., janvier 2016, 1^re éd., XVI-305 p., 15,8 × 23,6 cm (ISBN 978-0-19-871806-2, EAN 9780198718062, OCLC 946604972, BNF 44514127, DOI 10.1093/acprof:oso/9780198718062.001.0001, SUDOC 192542591, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Prigogine 1985] (en) Ilya R. Prigogine, « Irreversibility and space-time structure », dans David R. Griffin (éd.), Physics and the ultimate significance of time : Bohm, Prigogine, and process philosophy, Albany, SUNYP, hors coll., novembre 1985 (réimpr. décembre 1985), 1^re éd., XV-322 p., 16,5 × 24,1 cm (ISBN 0-88706-113-3 et 0-88706-115-X, EAN 9780887061134, OCLC 11784403, BNF 34898805, S2CID 122439038, SUDOC 026245655, présentation en ligne, lire en ligne), II^e partie, chap. 17, p. 232-250.
• [Retoré et Zémor 2014] Christian Retoré et Gilles Zémor, « La Déesse des petites victoires, Yannick Grannec, roman, prix des libraires 2013 (Paris, A. Carrrière, 2012, 468 p., ISBN 978-2-8433-7666-5, 22 €) » (compte-rendu de lecture), Gazette, SMF, n^o 140,‎ avril 2014, p. 113-116 (lire en ligne [PDF]).

Liens externes

• (en) « Gödel universe », notice d'autorité n^o 20110803095857377 , Oxford Reference, OUP.

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