Teorema di Riesz-Fischer

In matematica, in particolare in analisi reale, il teorema di Riesz–Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione a quadrato sommabile definisce una funzione quadrato sommabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in ${\displaystyle l^{2}}$ sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di ${\displaystyle L^{2}}$. Dal teorema segue inoltre che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio ${\displaystyle l^{2}}$.

A causa dell'importanza del fatto che ${\displaystyle L^{2}}$ sia un insieme completo, a volte con "teorema di Riesz–Fischer" si denota il teorema che ne stabilisce la completezza stessa.^[1]

Il teorema è stato formulato indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer nel 1907, ed è una forma più forte della disuguaglianza di Bessel. Si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

Siano: ${\displaystyle \{u_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ una base ortonormale e completa di vettori in uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ (completo e con ${\displaystyle (,)}$ prodotto interno) e sia ${\displaystyle \phi _{\alpha }\in l^{2}(A)}$ una successione.

La sommatoria di numeri ${\textstyle \sum |\phi _{\alpha }|^{2}}$ converge se e solo se la sommatoria (serie di Fourier) di vettori ${\textstyle \sum \phi _{\alpha }u_{\alpha }}$ converge ad un (unico) vettore ${\displaystyle f\in H}$ nella topologia indotta dal prodotto scalare, quadratico, dello spazio. Gli elementi della successione siano i coefficienti di Fourier di ${\displaystyle f}$^[2] : è ${\textstyle \phi _{\alpha }=(f,u_{\alpha })}$.

In modo equivalente si traspone tutto il discorso nello spazio delle funzioni quadrato sommabili. Data la base completa ${\displaystyle \{u_{\alpha }\}\in L^{2}([a,b])}$, l'appartenenza di ${\displaystyle \phi _{\alpha }}$ all'insieme delle successioni a quadrato sommabili comporta l'esistenza di una funzione ${\displaystyle f}$ tale che ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)u_{\alpha }(x)\mathrm {d} x=\phi _{\alpha }}$ per ogni ${\displaystyle \alpha }$.

Il teorema implica che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier corrispondente a una funzione ${\displaystyle f}$ è data da:

${\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,e^{inx}}$

dove ${\displaystyle F_{n}}$ è l'n-esimo coefficiente di Fourier:^[3]

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx}$

allora:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\Vert S_{n}f-f\right\|=0}$

dove:

${\displaystyle \left\Vert g\right\|=\int _{-2\pi }^{2\pi }g^{2}\,dx}$

è la norma-${\displaystyle L^{2}}$

Viceversa, se ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ è una successione bilatera di numeri complessi, ossia il suo indice spazia da ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle +\infty }$, tale che:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty }$

allora esiste una funzione ${\displaystyle f}$ a quadrato integrabile tale che i valori ${\displaystyle a_{n}}$ sono i coefficienti di Fourier di ${\displaystyle f}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio Lp.

La dimostrazione che lo spazio ${\displaystyle L^{p}}$ è completo si basa sui teoremi che caratterizzano la convergenza delle serie di funzioni integrabili secondo Lebesgue. Quando ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ la disuguaglianza di Minkowski implica che ${\displaystyle L^{p}}$ è uno spazio normato. Per provare che ${\displaystyle L^{p}}$ è completo, cioè che è uno spazio di Banach, è sufficiente provare che ogni serie di funzioni ${\displaystyle \sum u_{n}}$ in ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$, con ${\displaystyle \mu }$ che può essere la misura di Lebesgue, tale che:

${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}<\infty }$

converge nella norma di ${\displaystyle L^{p}}$ a qualche funzione ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$. Per ${\displaystyle p\leq \infty }$, la disuguaglianza di Minkowski e il teorema della convergenza monotona implicano che:

${\displaystyle \int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|{\Bigr )}^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}{\Bigr )}^{p}<\infty }$

e quindi:

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}}$

è definita quasi ovunque rispetto a ${\displaystyle \mu }$ e appartiene a ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$. Il teorema della convergenza dominata è allora sfruttato per mostrare che la somma parziale della serie converge a ${\displaystyle f}$ nella norma di ${\displaystyle L^{p}}$:

${\displaystyle \int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ per }}n\rightarrow \infty }$

Il caso ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ richiede alcune modifiche a causa del fatto che la p-norma non è più subadditiva. Si comincia con l'assunzione che:

${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty }$

e si usa ripetutamente il fatto che:

${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ per }}p<1}$

Il caso ${\displaystyle p=\infty }$ si riduce a una semplice questione riguardante la convergenza uniforme al di fuori di un insieme di misura nulla rispetto alla misura ${\displaystyle \mu }$.

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
• (EN) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem (PDF).

• Disuguaglianza di Bessel
• Funzione quadrato sommabile
• Serie di Fourier
• Spazio metrico completo
• Spazio l2
• Successione (matematica)

• Riesz-Fischer, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Riesz-Fischer theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Riesz-Fischer, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) B.I. Golubov, Riesz-Fischer theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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