バウムクーヘン積分

下記テーマに関する記事の一部
解析学
基本定理 関数の極限 連続性 平均値の定理
微分法 定義 導関数 (一般化（英語版）) 微分 無限小 関数の 全 概念 微分の記法 二階導関数 三階導関数（英語版） 変数変換（英語版） 陰関数の微分 Related rates（英語版） テイラーの定理 法則と恒等式（英語版） 和（英語版） 積 合成 冪（英語版） 商 一般ライプニッツ ファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）
積分法 積分一覧 定義 不定積分 積分 (広義) リーマン積分 ルベーグ積分 線積分 複素線積分 道具 部分 Discs（英語版） 円殻（バウムクーヘン） 置換 三角置換（英語版） 部分分数（英語版） 順序（英語版） 漸化式
級数 幾何 (算術幾何) 調和 交代 冪 二項 テイラー 収束判定法（英語版） 項の極限（項判定法）（英語版） 比 冪根 積分 比較 極限比較（英語版） 交代級数（英語版） 凝集 ディリクレ アーベル（英語版）
ベクトル 勾配 発散 回転 ラプラシアン 方向微分 公式（英語版） 定理 発散 勾配（英語版） グリーン ケルビン・ストークス
多変数 形式と枠組み 行列（英語版） テンソル 外 幾何学的（英語版） 定義 偏微分 多重積分 線積分 面積分 体積分 ヤコビアン ヘッセ行列
特殊化 分数階微積分 解析接続 マリアヴァン（英語版） 確率（英語版） 変分
その他 解析学記号
表 話 編 歴

バウムクーヘン積分（-せきぶん）あるいは円殻積分・円殻法（えんかくせきぶん・-ほう、英語: shell integration, shell method）とは、回転体の体積を回転軸と「垂直」方向に計算する方法。対して円板積分（英語版）は回転軸と「平行」に積分する。

定義

公式は次の通りである。xy-平面上での断面を y-軸上で回転させることで得られる三次元での体積について考える。断面が区間 [a, b] 上の正函数 f (x) で定義されているとする。このとき、体積の公式は

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

となる。

もし函数が y 座標にあり、回転軸が x-軸とすると公式は次のようになる。

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

もし函数が線 x = h にそって回転させるとすると、公式は

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h\end{cases}}}$

となり^[1]、回転軸が y = k の時には

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k\end{cases}}}$

となる。

公式は極座標系で二重積分を計算することで得られる。

例

式

y = (x − 1)² (x − 2)²

で定義された、区間 [1, 2] での断面（下に示す）の体積について考える。

断面

3次元での体積

円板積分（英語版）の場合、与えられた y に対して x を求める必要があり、また中央部に空洞があることからその内外に対応した2つの函数を得なければならない。これらの2函数を円板法で積分した後、それらを引くことで求める体積を得る。

バウムクーヘン積分では次の公式に従えばよい。

${\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

多項式を展開することで、積分は極めて単純になる。最終的に体積 π/10 を得る。

関連項目

• 回転体
• 円板積分（英語版）

参考文献

• Weisstein, Eric W. "Method of Shells". mathworld.wolfram.com (英語).
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, p. 244, - Google ブックス)

表 話 編 歴 微分積分学
Precalculus	二項定理 凹関数 連続関数 階乗 有限差分 自由変数と束縛変数 基本定理 関数のグラフ 線型関数 平均値の定理 ラジアン ロルの定理 割線 傾き 接線
極限	不定形（英語版） 関数の極限 片側極限 数列の極限 数列の加速法 近似のオーダー（英語版） ε-δ論法
微分法	連鎖律 導関数 微分 微分方程式 微分作用素 陰関数微分 逆関数の微分（英語版） ロピタルの定理 ライプニッツ則 対数微分 平均値の定理 ニュートン法 記法 ライプニッツの記法 ニュートンの記法 レギオモンタヌスの問題 相対変化率（英語版） 基本法則 線型性（英語版） 積 商 冪函数（英語版） 停留点 極値の判定（英語版） 最大値の定理 極値 テイラーの定理
積分法	逆微分 弧長 積分定数 積分記号下の微分（英語版） 微分積分学の基本定理 正割の立方の積分（英語版） 正割関数の積分（英語版） 半角正接置換法（英語版） 積分における部分分数（英語版） 二次有理式の積分（英語版） 円周率が22/7より小さいことの証明 基本法則 線型性（英語版） 部分積分 置換積分 台形公式 三角函数置換法（英語版）
ベクトル解析	回転 方向微分 発散 発散定理 勾配 勾配定理（英語版） グリーンの定理 ラプラシアン ストークスの定理
多変数微分積分学	曲率 Disc integration（英語版） 発散定理 外微分 ガブリエルのホルン 幾何解析（英語版） ヘッセ行列 ヤコビ行列と行列式 線積分 Matrix calculus 多重積分 偏微分 バウムクーヘン積分 面積分 テンソル解析 体積分
級数	アーベルの判定法（英語版） 交代 交代級数判定法（英語版） 算術幾何数列 二項 コーシーの凝集判定法 比較判定法 ディリクレの判定法 オイラー–マクローリンの公式 フーリエ 幾何 超幾何 q超幾何 調和 無限 積分判定法 極限比較判定法（英語版） マクローリン 冪 比判定法 冪根判定法 テイラー 項判定法（英語版）
特殊関数と数学定数	ベルヌーイ数 ネイピア数 オイラー定数 指数関数 自然対数 ガンマ関数 スターリングの近似 楕円関数
歴史（英語版）	擬等式（英語版） ブルック・テイラー コリン・マクローリン 代数の一般性（英語版） ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ 無限小 無限小解析（英語版） アイザック・ニュートン 連続の法則（英語版） レオンハルト・オイラー 『流率法』 (流率（英語版）) 『方法（英語版）』
一覧	微分法則（英語版） 指数関数の原始関数 双曲線関数の原始関数 逆双曲線関数の原始関数 逆三角関数の原始関数 無理関数の原始関数 対数関数の原始関数 有理関数の原始関数 三角関数の原始関数 極限 数学記号 原始関数
カテゴリ