体積積分(たいせきせきぶん、英: volume integral)とは、数学、特に多変数解析における用語で、3次元領域上の積分を指す。すなわち、多重積分の特殊な例である。積分の記号として∰が用いられる。 体積積分は特に物理学において多くの応用がなされており、例えば流束密度を求めることに利用される。
座標系ごとの表示
体積積分は直交座標系における関数
を領域
で三重積分することと見なせるから、一般には以下のように表せる。
![{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fe06bc9a91420054921ca946e40ee29f2f7831)
また円筒座標系では、以下のようになる。
![{\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a0dce5fa2e74275c7ef88468f04d5e3633a91b)
球面座標系(ISOの表記法に従い、
を方位角、
を極角とする。)では以下のようになる。
![{\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e39eed164ac11b2fe1cbd828cf8517fcff497e)
例
3変数関数
を単位立方体(英語版)上で積分すると以下のようになる。
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e991337f6946ea2456df716eab37d5500bed41)
単位立方体の体積が1であるという予想通りの結果が得られる。これは自明な例だが、体積積分ははるかに有用である。例えば、単位立方体の密度分布を表すスカラー密度関数を体積積分することにより、その単位立方体の質量を得ることができる。ここでは以下の密度関数を考える。
![{\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf1c7cbde9a1028d6c82cb9ffd374c649e632d6)
このような密度関数を持つ単位立方体の質量は以下で得られる。
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce86f98f83ce069e0ff3173c1a92c29546dde8a)
注釈
関連項目