Função simétrica

A função simétrica em variáveis n {\displaystyle n} ( x 1 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},...,x_{n}} )[1] é uma função que não é alterada por qualquer permutação de sua variável[2]. Uma função simétrica das variáveis n {\displaystyle n} é uma cujo valor em qualquer n-tuplo de argumentos é o mesmo que o seu valor a qualquer permutação de que o n-tuplo. Assim, se, por exemplo, f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})} , a função pode ser simétrica em todas as suas variáveis, ou apenas em ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} , ( x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{2},x_{3})} , ou em ( x 1 , x 3 ) {\displaystyle (x_{1},x_{3})} [3].

Exemplos

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}

Por definição, uma função simétrica com variáveis n {\displaystyle n} tem a propriedade que

f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = f ( x 2 , x 1 , . . . , x n ) = f ( x 3 , x 1 , . . . , x n , x n − 1 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})} etc.

Em geral, a função é a mesma para qualquer permutação das suas variáveis. Isto significa que, neste caso,

( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 2 ) ( x − x 1 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 3 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}

e assim sucessivamente, para todas as permutações de x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}

  • Considere a função
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − r 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}}

Se x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} são permutadas a função torna-se

f ( y , x ) = y 2 + x 2 − r 2 {\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}

o que produz exatamente os mesmos resultados como o original f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} .

  • Considere-se agora a função
f ( x , y ) = a x 2 + b y 2 − r 2 {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}} :: f ( y , x ) = a y 2 + b x 2 − r 2 . {\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}

Se x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} são permutadas, a função torna-se

f ( y , x ) = a y 2 + b x 2 − r 2 . {\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}

Esta função não é, obviamente, igual à original, se 1 = a {\displaystyle 1=a} ≠ {\displaystyle \neq } b {\displaystyle b} , o que faz com que ela seja não-simétrica[6][7].

Referências

  1. ↑ José Adelino Serrasqueiro, Álgebra Elementar, Livro Primeiro, Capítulo I, Noções preliminares, §2º Expressões algébricas. Reducção [wikisource]
  2. ↑ Symmetric Function por Weisstein, Eric W. publicado na "MathWorld--A Wolfram Web Resource"
  3. ↑ Switching Algebra Symmetric Functions por Alfredo Benso publicado pela " University of California, San Diego"
  4. ↑ Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
  5. ↑ Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2aedição. New York: Wiley, 1976.
  6. ↑ F. N. David, M. G. Kendall e D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press
  7. ↑ Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4
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