Distribució de probabilitat

En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$. Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Definició 1

Molts autors ^[1][2] utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, on ${\displaystyle \Omega }$ és un conjunt arbitrari i ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ és una família de subconjunts d'${\displaystyle \Omega }$ que té estructura de ${\displaystyle \sigma }$-àlgebra:

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$.
2. Si ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, llavors, ${\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {A}}}$, on ${\displaystyle A^{c}}$ designa el complementari del conjunt ${\displaystyle A}$.
3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments, ${\displaystyle \{A_{n},\,n\geq 1\}\subset {\mathcal {A}}}$, aleshores ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$.

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació ${\displaystyle P:{\mathcal {A}}\to [0,1]}$ que compleix

1. ${\displaystyle P(\Omega )=1}$.
2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,${\displaystyle \{A_{n},\,n\geq 1\}\subset {\mathcal {A}}}$, disjunts dos a dos: si ${\displaystyle i\neq j,\ A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$, tenim
   $${\displaystyle P{\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n}).}$$

   

Per a molts autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$.

Definició 2

Per a d'altres autors,^[3] distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Per a d'altres autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R^{n}} ){\big )}}$ on ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ és la ${\displaystyle \sigma }$-àlgebra de Borel sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geq 1}$.

Exemples

1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per

En particular, per a ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty ,}$ l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ té probabilitat 2. Una distribució de probabilitat binomial de paràmetres ${\displaystyle n=4}$ i ${\displaystyle p=0,2}$ és la probabilitat determinada per: i ${\displaystyle p(\{x\})=0,}$ si ${\displaystyle x\notin \{0,1,\dots ,4\}}$. Aleshores, per a qualsevol ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$,

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a Rⁿ

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$:^[4] una mesura ${\displaystyle \mu }$ es diu que és

• discreta si existeix un conjunt finit o numerable ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$ tal que ${\displaystyle \mu (C^{c})=0}$, on ${\displaystyle C^{c}=\mathbb {R} ^{n}\setminus C}$ és el complementari del conjunt ${\displaystyle C}$.
• contínua si ${\displaystyle \mu \{x\}=0}$ per a qualsevol ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.
• singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ tal que ${\displaystyle \mu (C^{c})=0}$ i ${\displaystyle \lambda _{n}(C)=0}$ on ${\displaystyle \lambda _{n}}$ és la mesura de Lebesgue a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• absolutament contínua (respecte la mesura de Lebesgue) si per qualsevol conjunt ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ tal que ${\displaystyle \lambda _{n}(B)=0}$, tenim que ${\displaystyle \mu (B)=0}$.

Quan ${\displaystyle \mu }$ és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular.
Descomposició de mesures. ^{[4] [5]} Existeixen tres mesures, ${\displaystyle \mu _{d}}$ discreta, ${\displaystyle \mu _{cs}}$ contínua singular i ${\displaystyle \mu _{ac}}$ absolutament contínua, tals que

Aquestes mesures són úniques. La mesura ${\displaystyle \mu _{d}}$ (respectivament ${\displaystyle \mu _{cs}}$ i ${\displaystyle \mu _{ac}}$) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de ${\displaystyle \mu }$. La mesura ${\displaystyle \mu _{cs}+\mu _{ac}}$ s'anomena la part contínua de ${\displaystyle \mu }$ . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si ${\displaystyle \mu }$ és discreta, aleshores ${\displaystyle \mu =\mu _{d}}$ i ${\displaystyle \mu _{cs}=\mu _{ac}=0}$ .
Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si ${\displaystyle \mu }$ és ${\displaystyle \sigma }$-finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ mesurable tal que La funció ${\displaystyle f}$ s'anomena la funció de densitat de ${\displaystyle \mu _{ac}}$.
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat ${\displaystyle p}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$ tal que ${\displaystyle p(C)=1}$. O que és una distribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ tal que ${\displaystyle p(C)=1}$ i ${\displaystyle \lambda _{n}(C)=0}$.

Funcions de distribució unidimensionals

Sigui ${\displaystyle p}$ una probabilitat sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$. La seva funció de distribució és la funció ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ definida per:

Té les següents propietats:^[6]

(a) ${\displaystyle F}$ és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si ${\displaystyle x<y}$ aleshores ${\displaystyle F(x)\leq F(y)}$.

(b) ${\displaystyle F}$ és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,F(x)=F(x^{+})=\lim _{y\downarrow x}F(y)}$.

(c)${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0\quad {\text{i}}\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.}$

Per posterior us, és convenient observar que, si ${\displaystyle a\leq b}$, atès que

tenim que

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció ${\displaystyle G:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]}$ que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.

Donada una funció de distribució ${\displaystyle G}$ podem construir una distribució de probabilitat ${\displaystyle q}$ a ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ definint-la primer sobre els intervals de la forma ${\displaystyle (a,b]}$:

i estenent-la a tot ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$^[7] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim

Equivalència entre distribucions de probabilitat a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i les funcions de distribució.

Exemples

1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és

És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres ${\displaystyle n=4}$ i ${\displaystyle p=0,2}$: la funció de distribució és una funció esglaonada:

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòria

Sigui ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ un espai de probabilitat i ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de ${\displaystyle X}$, o senzillament, distribució de ${\displaystyle X}$, o llei de ${\displaystyle X}$ és la probabilitat a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definida per

La funció de distribució ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle p}$ s'anomena la funció de distribució de ${\displaystyle X}$, i ve donada per

Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòria ${\displaystyle X}$, la seva funció de distribució és la funció ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ definida per $${\displaystyle F(x)=P(\{X\leq x\}),\ x\in \mathbb {R} .}$$

Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui ${\displaystyle X}$ una variable aleatòria amb funció de distribució ${\displaystyle F}$>> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:^[8]

Donada una funció de distribució ${\displaystyle F}$, existeix un espai de probabilitat ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ i una variable aleatòria ${\displaystyle X}$ tal que la seva funció de distribució és ${\displaystyle F}$.

Igualtat en distribució de variables aleatòries

Considerem dues variables aleatòries ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$, que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per ${\displaystyle p_{X}}$ i ${\displaystyle p_{X}}$ les seves distribucions. Es diu que ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ son iguals en distribució o en llei si ${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$. En aquest cas, s'escriu ${\displaystyle X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ Y\ {\text{o}}\ X\ {\overset {\mathcal {L}}{=}}\,Y.}$ Evidentment, si ${\displaystyle F_{X}}$ i ${\displaystyle F_{Y}}$ són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}}$ .

Exemples

1. Juguem amb un dau perfecte i ${\displaystyle \Omega _{1}=\{1,2,3,4,5,6\}}$considerem la variable ${\displaystyle X}$ que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui ${\displaystyle \Omega _{2}=\{{\text{cara, creu}}\}}$ i ${\displaystyle Y}$ la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i ${\displaystyle X}$ representa el resultat del primer dau i ${\displaystyle Y}$ el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau, ${\displaystyle X(1,2)=1\ {\text{mentre que}}\ Y(1,2)=2.}$

Igualtat quasi segura de variables aleatòries

Es diu que dues variables aleatòries ${\displaystyle X\ {\text{i}}\ Y}$ (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si ${\displaystyle P(X=Y)=1}$. S'escriu

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries

Considerem una successió de variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ i sigui ${\displaystyle X}$ una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots }$ i ${\displaystyle F}$ respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a ${\displaystyle X}$ si

Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.

Extensió a Rⁿ

Considerem una probabilitat ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}}$. La seva funció de distribució és la funció ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$ definida per

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en negretes; donats ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},\dots ,b_{n})}$ direm que ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}}$, si ${\displaystyle a_{i}<b_{i},\ i=1,\dots ,n.}$ Per ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}}$,

definim

Per exemple, si ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\ a<b}$,

Per ${\displaystyle n=2}$, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},a_{2})}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},b_{2})}$, amb ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}}$,

Vegeu la Figura 1.

Retornant al cas general, tenim

on ${\displaystyle ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]=(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}].}$

Propietats de la funció de distribució n-dimensional

La funció ${\displaystyle F}$ té les següents propietats:^[9]

(a) Per a qualsevol parell ${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n},\ {\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {y}},}$ tenim que ${\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}}F\geq 0.}$

(b) És contínua per la dreta: per qualsevol ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle \lim _{y_{1}\downarrow x_{1},\dots ,y_{n}\downarrow x_{n}}F(y_{1},\dots ,y_{n})=F(x_{1},\dots ,x_{n}).}$$

(c)

$${\displaystyle \lim _{x_{1}\to \infty ,\dots ,x_{n}\to \infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})=1}$$

i

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció ${\displaystyle G:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$ que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució ${\displaystyle n}$-dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}}$ mitjançant

Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}}$ i les funcions de distribució ${\displaystyle n}$-dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatori

S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ a la probabilitat sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ induïda per ell :

La funció de distribució de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és la funció ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$ definida per

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions:

Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

També tenim que donada una funció de distribució ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle F}$, existeix un espai de probabilitat i un vector aleatori ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ tal que la seva funció de distribució és ${\displaystyle F}$.^[10]

Referències

Bibliografia

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. W.. Univariate discrete distributions.. 2nd ed.. New York: Wiley, 1992. ISBN 0-471-54897-9. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol 1. 2nd ed. Nova York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol2. 2nd ed. New York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Discrete Multivariate Distributions. New York: Wiley, 1997. ISBN 0-471-12844-1. 
• Kotz, S.; Balakrihsnan, N.; Johnson, N. L.. Continuous multivariate distributions. Vol. 1, Models and applications.. 2nd ed.. New York: Wiley, 2000. ISBN 0-471-65403-5.