Nombre superparfait

En arithmétique, un nombre superparfait est un entier strictement positif n tel que

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n}$,

où σ est la fonction somme des diviseurs. Les nombres superparfaits sont une généralisation des nombres parfaits. Le terme a été inventé par D. Suryanarayana (1969)^[1].

Les premiers nombres superparfaits sont :

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, etc. suite A019279 de l'OEIS

Pour illustrer : on peut voir que 16 est un nombre superparfait car σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, et σ(31) = 1 + 31 = 32, donc σ(σ(16) ) = 32 = 2 × 16.

Si n est un nombre superparfait pair, alors n doit être une puissance de 2, disons 2^k, telle que le nombre de Mersenne 2 ^k+1 − 1 soit premier^[1].

On ne sait pas s'il existe des nombres superparfaits impairs. Un nombre superparfait impair n devrait être un nombre carré tel que n ou σ(n) soit divisible par au moins trois nombres premiers distincts. Il n'y a pas de nombres superparfaits impairs en dessous de 7  × 10^24[1].

Généralisations

Les nombres parfaits et superparfaits sont des exemples de la classe plus large des nombres m-superparfaits, qui satisfont

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

correspondant à m = 1 et 2 respectivement. Pour m ≥ 3 il n'y a pas de nombres m-superparfaits^[1].

Les nombres m-superparfaits sont à leur tour des exemples de nombres (m, k)-parfaits qui satisfont^[2]

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn}$.

Avec cette notation, les nombres parfaits sont (1, 2)-parfaits, les nombres multiparfaits sont (1, k)-parfaits, les nombres superparfaits sont (2, 2)-parfaits et les nombres m -superparfaits sont (m, 2)-parfaits^[3].

Bibliographie

• G. L. Cohen et H. J. J. te Riele, « Iterating the sum-of-divisors function », Experimental Mathematics, vol. 5, n^o 2,‎ 1996, p. 93–100 (DOI 10.1080/10586458.1996.10504580, zbMATH 0866.11003, lire en ligne)
• Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, Springer-Verlag, 2004, 3rd éd. (ISBN 978-0-387-20860-2, zbMATH 1058.11001), B9
• Handbook of number theory I, Dordrecht, Springer-Verlag, 2006 (ISBN 1-4020-4215-9, zbMATH 1151.11300)
• D. Suryanarayana, « Super perfect numbers », Elem. Math., vol. 24,‎ 1969, p. 16–17 (zbMATH 0165.36001)

Références

• Arithmétique et théorie des nombres