Cálculo matricial

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Na matemática, o Cálculo matricial é uma notação especial para tratar o cálculo multivariável, especialmente em espaços de matrizes, onde está definida a derivada de uma matriz.

Esta notação é conveniente para descrever sistemas de equações diferenciais e para calcular o diferencial de funções de matrizes.

Esta notação é utilizada em Estatística e Engenharia; físicos preferem usar a notação de Einstein.

O princípio básico desta notação é tratar cada vetor como uma matriz coluna, e identificar uma matriz 1x1 com o escalar.

Notação

M(n,m) representa o espaço das matrizes reais nxm. Seus elementos serão representados como letras maiúsculas em negrito: F, X, Y, etc.

Um elemento de M(n,1), ou seja, um vetor coluna, será representado por letras minúsculas em negrito: x

Um elemento de M(1,n), ou seja, um vetor linha, será representado como o transposto de um vetor coluna, ou seja, x^T.

Os elementos de M(1,1) são identificados como os escalares, e representados por letras minúsculas em itálico: a, b, c, f, t etc.

Por padrão, as funções são supostas de class C¹.

Diferencial em relação a um vetor

Por esta notação, o diferencial em relação a um vetor se comporta, formalmente, como o vetor:

{\frac {\partial }{\partial x}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}

De modo que a derivada de um vetor y_{m x 1} em relação a outro vetor x_{n x 1} poderia ser formalmente escrita como uma multiplicação matricial do vetor-linha ${\frac {\partial }{\partial x}}\,$ pelo vetor-coluna y:

{\frac {\partial y}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}y={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&\ldots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\ldots \\y_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{n}}}\\\ldots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}

Ligações externas

«Tópicos sobre cálculo matricial, Artur Ferreira e Paulo Marques.» (PDF)
Linear Algebra: Determinants, Inverses, Rank appendix D from Introduction to Finite Element Methods book on University of Colorado at Boulder. Uses the Hessian (transpose to Jacobian) definition of vector and matrix derivatives.(em inglês)
Matrix Reference Manual, Mike Brookes, Imperial College London.(em inglês)
The Matrix Cookbook, with a derivatives chapter. Uses the Hessian definition.(em inglês)
Linear Algebra and its Applications (author information page; see Chapter 9 of book), Peter Lax, Courant Institute.(em inglês)
Matrix Differentiation (and some other stuff), Randal J. Barnes, Department of Civil Engineering, University of Minnesota.
Notes on Matrix Calculus, Paul L. Fackler, North Carolina State University.(em inglês)
Matrix Differential Calculus (slide presentation), Zhang Le, University of Edinburgh.(em inglês)
Introduction to Vector and Matrix Differentiation (notes on matrix differentiation, in the context of Econometrics), Heino Bohn Nielsen.(em inglês)
A note on differentiating matrices (notes on matrix differentiation), Pawel Koval, from Munich Personal RePEc Archive.
Vector/Matrix Calculus More notes on matrix differentiation.(em inglês)
Matrix Identities (notes on matrix differentiation), Sam Roweis.(em inglês)