Cálculo |
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Definições Conceitos Tabela de derivadas - Somas
- Produto
- Regra da cadeia
- Potências
- Quocientes
- Fórmula de Faà di Bruno
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Cálculo integral Definições Integração por |
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A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir[1], supomos que
e
são funções deriváveis em
e
é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar. Demonstrações destas fórmulas podem ser obtidas em livros de cálculo diferencial e integral[2][3][4][5].
Regras gerais de derivação
Regra da soma
![{\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a356fcc9b7f291689d9de9086dd2fc12ed1af479)
Regra da subtração
![{\displaystyle (f-g)'=f'-g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428e05f6c4dcb14c0130b0870a17bfdcfbcda2a3)
Regra da multiplicação
![{\displaystyle (cf)'=cf'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9179a7a8a867a247638d64e3efbb3f1745a437)
Regra do produto
![{\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b087f14a89a896de41077c78ad39da0a56412e97)
Regra do quociente
sendo esta válida para todo
no domínio das funções com
.
Regra da Cadeia
![{\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'{\big (}g(x){\big )}g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a174302dd1cfb8c1f707fc0b7c33fcc724f1d9a)
onde
é a composição de
com
(usualmente, lê-se "
após
"). Esta é válida para
no domínio
da função
e tal que
esteja no domínio
da função
, ou seja, é válida em
.
Derivadas de funções simples
![{\displaystyle {d \over dx}c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d66384c0fe25d80d440b317f08c9b8be9253e77)
![{\displaystyle {d \over dx}x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e3d9ed50d0216e5b16c4827596e3fdcc2deacb)
![{\displaystyle {d \over dx}c.x=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fa0c808f3beae729febd50f2f3af7e05105c16)
![{\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1e6e2a79d9edc6c9054d460cd16e28f5015885)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}c^{x}=c^{x}\ln c,\quad c>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fda4fff1ca692f8c896131fc44104623811f03)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c432d20d9a75e0f41d682184fa4b640357c3d6b3)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e754d0b77ba21309763504537abac3070edb9ac8)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |x|={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9d2528dfb7a675a93d0b0b9fcade592052b39a)
- Se
é uma função derivável, então:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{u}=u'e^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f058573a1a6efe7bd5c0c127836256e3300827)
-
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{u}=u'a^{u}\ln a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfc2b1afe5d872fe5888348c1a2275e5c546370)
-
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}u={\frac {u'}{u}}\log _{a}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca0eb812cc9f5d35c9445e85a473f1cf46a8b76)
-
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |u|={\frac {u'}{u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c167d761f2de8c77cc8aed426ffe669cff7bb8e)
Função | Abreviatura | Identidade trigonométrica |
Seno | sen (ou sin) | |
Cosseno | cos | |
Tangente | tan (ou tg) | |
Cossecante | csc (ou cosec) | |
Secante | sec | |
Cotangente | cot (ou cotg ou cotan) | |
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sen} x=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8af53db155e57eff94a02b5987d52f21f72edc)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\operatorname {sen} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c654f7340cb514805ccbc19808ee57e2acfc6d1)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897700470e956242ce127b9fdfbeede1a276f301)
![{\displaystyle {d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09258cdb5b76231c39367662468a13babd56c74c)
![{\displaystyle {d \over dx}\sec x=\sec x\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ae7010c95acf5563430d79d5e6ada5e54945ce)
![{\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24aebea78581ce49f2b3411b7b8b9c36090d5222)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsen} x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa84b2c9ff3d551a6d7d49ecb67c4ab711022225)
![{\displaystyle {d \over dx}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7a2444cec2806d59198a0f481e34dfb71905e5)
![{\displaystyle {d \over dx}\arctan \,x={\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0df826bdb8a4b4d82089aafd2f1acd0e576b56)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ac9e7c73e093bf9ab2b9d57ce5970b3eb38e33)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20618f8e38a862ea2524ed34fb4d6e6578295811)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8622ad5e8683b5f14f1e53e19519194b6cc848b4)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {senh} x=\cosh x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1396e50e5203786f5e8e72bb073a14d8ba78c9e)
![{\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\operatorname {senh} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fafcfbd4f50d6a41633a45b356fc18312c07feca)
![{\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e1e65794f0df475f07d284a2fd04670b5743b8)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} x\tanh x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a094ce98fe59c9a9af59f1f4de23a08329e3051)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {coth} x=-\operatorname {csch} ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf6dab27e27a1199a51900581431fa4c876f766)
![{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} x\operatorname {coth} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a79a98e30886f943375235bf329a6dcacd429e)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argsenh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4ddb6c1e97e4597208360687194684e1fbeb77)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ac19b0967972054ef10d0fab6f081d49bd2eab)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argtanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ea4215251e35727629dc6dbbe909e21d24de91)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbc4d5642365d690ea2cf9ee2cc4a7812ae1e3c)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae4dcb8405cc7f8640aafd4fbf925b532b3d5a9)
![{\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argcsch} x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4932ae3cebee183cfc94645da9fec3f09280577)
Ver também
Referências
- ↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016
- ↑ Leithold, Louis (1994). Cálculo com geometria analítica - vol. 1 3. ed. [S.l.]: Harbra. ISBN 8529400941
- ↑ Simmons, George (2009). Calculo com geometria analitica. [S.l.]: Pearson Makron Books. ISBN 0074504118
- ↑ Howard, Anton (2007). Cálculo - vol 1. 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031634
- ↑ Stewart, James (2006). Cálculo - Vol. 1 5 ed. [S.l.]: Thompson. ISBN 8522104794
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